Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, r, r1, r2 lần lượt là |

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH,

$r,r_1,r_2$

 lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp tam giác vuông ABC, AHB, AHC. Chứng minh rằng

Bạn đang xem: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, r, r1, r2 lần lượt là |

1. $r_1=r.\frac{c}{a}$

    và

   $r_2=r.\frac{b}{a}$
2. ${r_1}^2+{r_2}^2=r^2$

Trả lời:

1.

$\begin{array}{l}\sin \frac{C}{2}=\frac{ON}{OC}=\frac{IP}{IC}\Rightarrow \frac{r}{OC}=\frac{r_2}{IC}\Rightarrow r_2=r.\frac{IC}{OC}\left(1\right)\\ \Delta CHI~\Delta CAO\Rightarrow \frac{IC}{OC}=\frac{HC}{AC}\left(2\right)\\ \Delta HAC~\Delta ABC\Rightarrow \frac{HC}{AC}=\frac{AC}{BC}\left(3\right)\end{array}$

Từ (1), (2) và (3) suy ra 

$r_2=r.\frac{AC}{BC}=r.\frac{b}{a}$

Hoàn toàn tương tự suy ra 

$r_1=r.\frac{MK}{OE}=r.\frac{c}{a}$

2. Ta có

${r_1}^2+{r_2}^2=r^2\left(\frac{b^2+c^2}{a^2}\right)=r^2$