Cho tam giác ABC vuông tại A, D là hình chiếu của A |

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là hình chiếu của A trên BC, E và F lần lượt là hình chiếu của D xuống AB và AC. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

1. ${\left(\frac{AB}{AC}\right)}^2=\frac{DB}{DC}$
2. ${\left(\frac{AB}{AC}\right)}^3=\frac{BE}{CF}$
3. $A{D}^3=BC.EB.CF$

Bạn đang xem: Cho tam giác ABC vuông tại A, D là hình chiếu của A |

Trả lời:

Tất cả các khẳng định trên đều đúng vì

1. $\left\{\begin{array}{c}A{B}^2=DB.BC\\ A{C}^2=DC.BC\end{array}\right)\Rightarrow {\left(\frac{AB}{AC}\right)}^2=\frac{A{B}^2}{A{C}^2}=\frac{DB.BC}{DC.BC}=\frac{DB}{DC}\left(1\right)$
2. $\left\{\begin{array}{c}D{B}^2=BE.AB\\ D{C}^2=CF.AC\end{array}\right)\Rightarrow {\left(\frac{DB}{DC}\right)}^2=\frac{D{B}^2}{D{C}^2}=\frac{BE.AB}{CF.AC}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra

${\left(\frac{DB}{DC}\right)}^2={\left(\frac{AB}{AC}\right)}^4=\frac{BE.AB}{CF.AC}\Rightarrow {\left(\frac{AB}{AC}\right)}^3=\frac{BE}{CF}$

3.

$\left\{\begin{array}{c}A{D}^2=DC.DB\Rightarrow A{D}^4=D{C}^2.D{B}^2\left(3\right)\\ D{C}^2=CF.AC\left(4\right)\\ D{B}^2=BE.AB\left(5\right)\\ AC.AB=AD.BC\left(6\right)\end{array}\right)$

Thay (4), (5), (6) vào (3) ta suy ra

$A{D}^3=BC.EB.CF$