Cho năm điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng |

Câu hỏi:

Cho năm điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng bao giờ cũng có thể trọn ra được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi.

Bạn đang xem: Cho năm điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng |

Trả lời:

Xét bốn điểm A, B, C, D. Nếu bốn điểm đó là đỉnh của một tứ giác lồi thì bài toán được chứng minh xong. Nếu bốn điểm đó không là đỉnh của một tứ giác lồi thì tồn tại một điểm (giả sử điểm D) nằm trong tam giác có đỉnh là ba điểm còn lại (hình bên). Chia mặt phẳng thành chín miền như hình vẽ, điểm thứ năm E nằm bên trong một miền (vì trong năm điểm không có ba điểm thẳng hàng).

Nếu E thuộc các miền 1, 4, 8 ta chọn bốn điểm là A, D, B.

Nếu E thuộc các miền 2, 5, 7 ta chọn E và A, D, C.

Nếu E thuộc các miền 3, 6, 9 ta chọn E, B, D, C.